یک دانه گاو، یک دانه بلدرچین (چند شوخی با آمار)

لطیفه‌هایِ زیر به معنایِ تحقیرِ علمِ آمار نیست. آمار یکی از قدرتمندترین ابزارهایی است که برایِ شناختنِ پدیده‌هایِ‌ پیرامون‌مان داریم و امیدوارم گردآوری و ترجمه‌ی این مجموعه‌ی کوچک بیشتر نشان‌دهنده‌ی علاقه‌ی من به علمِ آمار باشد تا چیزِ دیگر. طنز قالبی بی‌بدیل برایِ معرفی یا نقدِ سوءاستفاده‌های عمدی یا غیرعمدی و خصوصیت‌هایِ ذاتیِ علمِ آمار، شاملِ برخی محدودیت‌هایِ بنیادینِ آن است. این مجموعه‌ دارایِ ترتیبِ معینی نیست. همه‌ی لطیفه‌ها هم از یک جنس نیستند: برخی بر اساسِ رویدادهایِ واقعی بنا شده‌اند و برخی دیگر به کلی ساختگی‌اند، برخی به شکلی ظریف به خصوصیت‌هایی از علمِ آمار اشاره می‌کنند، در حالی که برخی دیگر را صرفاً می‌توان لطفیه‌هایی معمولی دانست که از مفاهیمِ آماری در ساختمانِ آن‌ها استفاده شده است. اگر لطیفه‌ای می‌شناسید که فکر می‌کنید باید به این مجموعه تعلق داشته باشد، لطفاً به صورتِ کامنت ذکر کنید تا اضافه کنم.

۱

کافی است موفق شوید تا صد سالگی زنده بمانید. دیگر می‌توانید آسوده زندگی کنید چون تعدادِ افرادِ بالایِ صدسالی که می‌میرند بسیار اندک است.

نسخه‌ی مرتبط:

جورج برنز (George Burns) در یک مصاحبه‌ی تلویزیونی به مناسبتِ صدمین سالگردِ تولدش شرکت کرده بود و در حالِ کشیدنِ یک سیگارِ برگ بود. مجری چیزهایی درباره‌ی مضراتِ سیگار و تأثیرِ منفیِ آن بر طولِ عمر گفت.
جورج برنز: بیست سال پیش دکترم به من گفت که این سیگارها مرا خواهند کشت.
مجری: الان چطور؟
جورج برنز: نمی‌دانم. او مرده است.

۲

دو آماردان در حالِ سفر از تهران به بندرعباس بودند. بعد از نیم‌ساعت پرواز خلبان اعلام کرد که یکی از موتورهایِ هواپیما از کار افتاده است. او اضافه کرد که جایِ نگرانی نیست چون سه موتورِ دیگر سالم هستند، ولی به خاطرِ این حادثه سفرِ آن‌ها به جایِ ۲ ساعت، ۴ ساعت طول می‌کشد.

کمی بعد خلبان اعلام کرد که دومین موتور نیز از کار افتاده، ولی دو موتور دیگرِ سالم هستند و سفرِ آن‌ها ۸ ساعت طول می‌کشد.

چند دقیقه بعد خلبان خبرِ از کار افتادنِ موتورِ سوم را نیز داد. با این‌حال تأکید کرد که جایِ نگرانی نیست چون هواپیما به راحتی می‌تواند با یک موتور به پروازِ خود ادامه دهد. اما سفرشان حدود ۱۵ ساعت طول می‌کشد.

در این لحظه یکی از آماردان‌ها به دیگری گفت: خدایِ من. امیدوارمِ‌ موتورِ آخری از کار نیفته، وگرنه باید تا ابد تو هوا بمونیم!

۳

آمار نقشِ مهمی در علمِ ژنتیک بازی می‌کند. به عنوانِ مثال به ما نشان می‌دهد که تعدادِ فرزندان یک خصوصیتِ وراثتی است. بنابراین اگر والدینِ شما فرزندی نداشته باشند، به احتمالِ زیاد شما نیز دارایِ فرزند نخواهید شد.

۴

آماردانی قصد داشت با اعتماد به نفسِ تمام از رودخانه‌ای که میانگینِ عمقِ آن یک متر بود عبور کند، اما در رودخانه غرق شد.

۵

یک مورخ، یک مهندس و یک آماردان به شکارِ اردک رفتند. همین‌طور که کمین کرده بودند اردکی در مقابلِ چشم‌هایشان پرواز کرد. مورخ شلیک کرد و تیرش از سه متری زیرِ شکمِ اردک عبور کرد. مهندس بلافاصله تفنگش را برداشت و تیری شلیک کرد که از سه متری بالایِ سرِ اردک عبور کرد. آماردان هیجان‌زده شد و فریاد کشید: زدیمش!

۶

عددها هم مانندِ آدم‌ها هستند. اگر به اندازه‌ی کافی شکنجه‌شان کنی هر چه بخواهی به تو خواهند گفت.

۷

برایِ هر پرسشِ ساده‌ای پاسخی ساده وجود دارد که اشتباه است.

۸

هر آمریکایی باید درآمدِ بالاتر از متوسط داشته باشد. اگر من رئیس‌جمهور شوم تلاش می‌کنم تا به این هدف برسیم.

(این جمله توسطِ بیل کلینتون گفته شده است.)

۹

این موضوع ثابت شده که جشنِ تولد به سلامتیِ فرد کمک می‌کند. آمارها نشان می‌دهند افرادی که زادروزهایِ بیشتری را جشن گرفته‌اند، از دیگران بیشتر عمر می‌کنند.

۱۰

۷۹/۴۸ درصد همه‌ی آمارها به کلی ساختگی هستند.

۱۱

به طورِ متوسط هر کدام از ما یک بیضه و یک پستان داریم.

نسخه‌ی دیگر:

یک انسانِ متوسط یک بیضه، یک پستان و کمتر از دو پا دارد.

نسخه‌ی مرتبط:

آیا می‌دانستید که تعدادِ پاهایِ بیشترِ افراد از میانگینِ تعدادِ پاهایِ هر فرد بیشتر است؟ به عنوانِ مثال از ۱۰۰ میلیون جمعیتِ کشورِ فرضینیا ۱۰۰۰۰ نفر فقط یک پا دارند و در نتیجه میانگینِ تعدادِ پاها در فرضینیا کمتر از ۲ است. اما اکثریتِ قاطعِ فرضینیایی‌ها دو پا دارند.

۱۲

می‌دونی؟ من به خاطرِ کارم زیاد سفر می‌کنم. جایی خوندم که طبقِ آمارها احتمالِ این‌که مسافری با یک بمب در هواپیما حضور داشته باشه یک در هزاره. به نظرم این احتمالِ زیادیه! به خصوص وقتی که زیاد سفر کنی. بنابراین من سعی کردم این احتمال را کاهش بدم. من همیشه با خودم یه بمب واردِ هواپیما می‌کنم و احتمالِ این‌که یه مسافرِ دیگه هم بمب داشته باشه یک در میلیونه. دیگه خیالم راحته!

۱۳

آماردان‌هایِ پیر نمی‌میرند، بلکه معنادار بودن‌شان را از دست می‌دهند.

۱۴

فرقِ بینِ یک آماردانِ برون‌گرا و درون‌گرا چیست؟

حینِ صحبت کردن، آماردانِ برون‌گرا به کفش‌هایِ «تو» نگاه می‌کند.

۱۵

یک آماردان قادر است سرش را تویِ حمامِ سونا و پاهایش را در برف بگذارد و حسِ میانگینِ مطبوعی داشته باشد.

۱۶

هوشِ نیمی از جمعیت از میانه‌‌ کمتر است (بنا به تعریف)، اما هوشِ بیش از نیمی از جمعیت از میانگین بیشتر است. علتِ این عدمِ تقارن را باید در محدود بودنِ نسبِ هوش و نامحدود بودنِ نسبیِ حماقت جستجو کرد.

۱۷

دانشجویِ آماری را می‌شناسم که هنگامِ رانندگی همیشه با سرعتِ بیشتری از تقاطع‌ها عبور می‌کرد. او می‌دانست که از لحاظِ آماری خطرِ تصادف در تقاطع‌ها بیشتر است، در نتیجه سعی داشت زمانِ کمتری را در آن‌ها سپری کند.

۱۸

آدم‌ها دو دسته هستند: آن‌هایی که می‌توانند بر اساسِ داده‌هایِ ناقص برون‌یابی کنند.

۱۹

مردی یک هندوانه‌ی بزرگ داخلِ کیفِ دستی‌اش گذاشته بود و وارد هواپیما شد. دوستش از او علت را پرسید. 

مرد: تا حالا شنیده‌ای هواپیمایی که یکی از مسافرهایش یک هندوانه‌ی بزرگ در کیفِ دستی‌اش داشته باشد سقوط کند؟
دوست: خیر.
مرد: دقیقاً. احتمالِ آن دقیقاً صفر است!

۲۰

یک فردِ کاملاً متوسطِ جامعه را در نظر بگیر و به این فکر کن که چقدر احمق است. بنا به تعریف، نصفِ جمعیت از او احمق‌ترند.

۲۱

از مردی که در یک رستوران نشسته بود پرسیدند احتمالِ این‌که موقعِ خروج از رستوران یک دایناسورِ واقعی را ببیند چقدر است؟ مرد پاسخ داد: پنجاه-پنجاه. یا می‌بینمش، یا نمی‌بینمش.

۲۲

آیا می‌دانستید ۸۷/۶۲۸۳۹۴۷۲ درصدِ آمارها ادعایِ دقتی را دارند که رویه‌یِ به کار گرفته شده در تولیدشان آن‌را توجیه نمی‌کند؟

۲۳

از یک آماردان پرسیدند نظرش را درباره‌ی همسرش بگوید. پاسخ داد: در مقایسه با چه کسی؟

۲۴

هشدارهایی مهم درباره‌ی مصرفِ‌ نان:

  • بیش از ۹۸ درصد مجرمان و جنایت‌کاران نان مصرف می‌کنند.
  • نیمی از کودکانی که در خانواده‌هایی که در آن نان به صورتِ روزانه مصرف می‌شود از ضریبِ هوشی پایین‌تر از میانگین رنج می‌برند.
  • در قرن هیجدهم که تقریباً همه‌ی نان‌ها در منازل طبخ می‌شد، میانگینِ طولِ عمر کمتر از ۵۰ سال بود، نرخ مرگ و میرِ کودکان بسیار بالا بود، تعدادِ زیادی از زن‌ها موقعِ زایمان می‌مردند و بیماری‌هایی نظیرِ تیفویید و تبِ زرد شیوع داشت.
  • بیش از ۹۰ درصد جرائمِ خشونت‌آمیز توسطِ افرادی انجام می‌شود که طیِ ۲۴ ساعتِ پیش از وقوعِ جرم حداقل یک‌بار نان مصرف کرده‌اند.
  • نان از ماده‌ای به نام خمیر ساخته می‌شود. خمیر خطرناک است، مثلاً ثابت شده که یک کیلوگرمِ آن می‌تواند یک خرگوش را در جا خفه کند. هر ایرانی به طورِ میانگین در هر ماه بیش از این مقدار نان مصرف می‌کند.
  • برخی جوامعِ بدوی نان مصرف نمی‌کنند. در این جوامع بیماری‌هایی نظیرِ سرطان، آلزایمر و پارکینسون به شدت نادر است.
  • ثابت شده که نان اعتیادآور است. آزمایشات نشان داده افرادی که از نان محروم می‌شوند و به جایِ آن فقط آب به آن‌ها داده می‌شود بعد از گذشتِ فقط دو روز به التماس می‌افتند که به آن‌ها نان داده شود.
  • نان معمولاً به عنوانِ دروازه‌ای به غذاهایِ مضرِ دیگری نظیرِ کره یا ژله عمل می‌کند و مصرفِ آن منجر به مصرفِ این غذاها نیز می‌شود.
  • نان جاذبِ آب است. ۹۰ درصد بدنِ انسان آب است. در نتیجه خوردنِ نان باعث می‌شود بدن‌تان توسطِ این ماده‌ی غذاییِ جاذبِ آب اشغال شود و به تدریج به فردی نرم، خیس و پف‌کرده تبدیل شوید.
  • نان می‌تواند نوزادان را خفه کند.
  • نان در دمای ۲۰۰ درجه‌ی سانتی‌گراد طبخ می‌شود. این دما برایِ انسان کشنده است.
  • اغلبِ نان‌خورها نمی‌توانند فرقِ میان شواهدِ علمی و چرندگویی‌هایِ آماری را تشخیص دهند.

با در نظر گرفتنِ این شواهدِ آماریِ ترسناک، ما خواستارِ وضعِ مقرراتِ زیر در رابطه با توزیع و مصرفِ نان هستیم.

  • ممنوع کردنِ فروشِ نان به کودکان و نوجوانان.
  • وضعِ مالیاتِ ۳۰۰ درصدی بر همه‌ی انواعِ نان. مصرف‌کنندگانِ نان باید هزینه‌ی واقعیِ نان را به جامعه پرداخت کنند.
  • ممنوع کردنِ نمایشِ نان خوردن در برنامه‌هایِ تلویزیونی و سینمایی.
  • ایجادِ منطقه‌هایِ پاک عاری از نان در مدارس و کتاب‌خانه‌ها.

۲۵

آیا می‌دانستید که سه نوع آماردان وجود دارد؟ آن‌هایی که بلدند بشمارند و آن‌هایی که بلد نیستند.

۲۶

بر اساسِ نظرسنجیِ انجام شده، ۵۱ درصدِ مردم در اکثریت هستند.

نسخه‌ی دیگر:

یک تحقیقِ ده ساله‌ی دولتی با بودجه‌ی بیش از سه میلیارد تومان نشان داد که سه چهارم مردمِ ایران ۷۵ درصدِ جمعیتِ آن‌را تشکیل می‌دهند.

۲۷

مردی که به تازگی یک ساندویچِ بلدرچینِ خیلی ارزان خورده بود از فروشنده پرسید که چطور می‌تواند ساندیچِ بلدرچین را چنین ارزان ارائه دهد.

فروشنده: من مقداری گوشتِ گاو هم باهاش مخلوط می‌کنم.
مرد: چقدر گوشتِ گاو بهش می‌زنی؟
فروشنده: ۵۰-۵۰ مخلوط می‌کنم. یه دانه گاو، یه دانه بلدرچین.

۲۸

یک فیزیک‌دان، یک معرکه‌بگیرِ‌ نیرومند و یک آماردان در جزیره‌ای غیرمسکونی و لم یزرع واقع در اقیانوس رها شده بودند. از اقبالِ بلندشان یک جعبه پر از غذاهایِ کنسروی در ساحل پیدا می‌کند. گفتگو درباره‌ی این‌که چطور می‌توانند کنسروها را باز کنند در می‌گیرد. فیزیک‌دان پیشنهاد می‌دهد که یک نفر بالایِ درختِ بلندی برود و کنسروها را پرت کند تا در اثرِ برخورد با سنگ باز شوند. معرکه‌بگیر می‌گوید نه! این کار بیشتر غذاها را هدر می‌دهد. من با استفاده از قدرتِ بازوهایم کنسروها را پاره می‌کنم. آماردان می‌گوید این‌روش‌ها خیلی کثافت‌کاری می‌کنند و من راهی بلدم که کنسروها را بدونِ کثافت‌کاری باز کنیم. «اول، فرض می‌کنیم که دربازکن داریم.»

۲۹

فرقِ بین اقتصاددان و آماردان این است که همه حرف‌هایِ اقتصاددان را درباره‌ی آینده باور می‌کنند، اما هیچ‌کس حرف‌هایِ آماردان درباره‌ی گذشته را جدی نمی‌گیرد.

۳۰

یک فیزیک‌دان، یک زیست‌شناس و یک آماردان رو به رویِ ساختمانی نشسته بودند. در همین حین دو نفر واردِ ساختمان شدند. کمی بعد سه نفر از ساختمان خارج شدند. 

فیزیک‌دان: احتمالاً مشاهده‌ی اولیه‌ی من اشتباه بوده است.
زیست‌شناس: کاملاً واضح است که آن دو نفر تولیدِ مثل کردند.
آماردان: اگر یک نفر دیگر واردِ ساختمان شود، هیچ‌کس داخلِ آن نخواهد بود.

۳۱

اثباتِ این‌که همه‌ی عددهایِ فردِ بزرگ‌تر از یک اول هستند.

ریاضی‌دان: ۳ اول است، ۵ اول است، ۷ اول است… به کمکِ استقراء به این نتیجه می‌رسیم که بقیه‌ی عددهایِ فرد هم اول هستند. 

آماردان: سه اول است، ۵ اول است، ۷ اول است، ۹ اول نیست اما این یک خطایِ اندازه‌گیری است و آن‌را حذف می‌کنیم، ۱۱ اول است، ۱۳ اول است… به کمکِ استقراء به این نتیجه می‌رسیم که بقیه‌ی عددهایِ فرد هم اول هستند.

Advertisements

اندازه‌ی گیری زمان با طناب، ریاضی دان کسل و دو معمای دیگر

۱

اندازه‌ی گیری زمان با طناب

دو قطعه طناب دارید. اگر هر کدام را از یک سر آن آتش بزنید (به مثابه یک فتلیه) دقیقا یک ساعت طول می‌کشد تا کامل بسوزد، منتها طناب‌ها به خاطر ناهماهنگی‌هایی که در ضخامت‌شان دارند یکنواخت نمی‌سوزند. مثلا بعد از گذشت نیم ساعت، ممکن است کمتر یا بیشتر از نصف طناب سوخته باشد.

علاوه بر طناب‌ها شما یک فندک و یک قیچی هم دارید. شما می‌خواهید زمانی معادل ۴۵ دقیقه را اندازه‌گیری کنید. چطور می‌توانید با استفاده از این دو طناب این کار را انجام دهید؟

در صورتی که به نظرتان لازم برسد، می‌توانید طناب‌ها را به هم گره بزنید یا به قطعات کوچک‌تر تقسیم کنیم. همچنین شما می‌توانید هر چند بار که خواستید از فندک و قیچی استفاده کنید. در ضمن فرض بر این است که دو طناب مشابه هم نیستند و تنها نکته‌ی مشترک‌شان در این است که دقیقا در ۱ ساعت می‌سوزند.

برای حل این مساله ۵ دقیقه وقت دارید. پاسخ را این‌جا ببینید.

۲

حداکثر مساحت با دو قطعه طناب

قطعه‌ طنابی به طول یک متر دارید (فرض کنید ضخامت آن ناچیز است). قصد داریم این طناب را از نقطه‌ای ببریم و به دو قسمت (نه لزوما مساوی) تقسیم کنیم و یکی از این قسمت‌ها را به شکل یک دایره و قسمت دیگر را به شکل یک مربع در بیاوریم. طناب را از کدام نقطه‌ی آن ببریم تا مساحتی که توسط مربع و دایره‌ تولید می‌شود حداکثر باشد؟

اگر طناب را از دو نقطه ببریم (به سه قسمت تقسیم کنیم) و قطعه‌ها را به دایره، مربع و مثلث تبدیل کنیم چطور؟ چطور می‌توانیم مساحت سه شکل تولید شده را حداکثر کنیم؟

برای حل این مساله ۵ دقیقه وقت دارید. پاسخ را این‌جا ببینید.

۳

استراتژی برنده در بازی دو نفره با سکه‌ها

دوست‌تان به شما پیشنهاد یک بازی دو نفره را داده است. تعداد کافی سکه‌‌ی کاملا مشابه در اختیار دارید و قرار است به نوبت هر کدام یک سکه را روی سطح میزی به شکل دایره قرار دهید. در آغاز سطح میز کاملا خالی است. بازیکن‌ها در نوبت خود می‌توانند سکه‌‌ی جدید را در هر قسمت از سطح میز که مایل هستند بگذارند، اما نمی‌توانند آن‌ را روی سکه‌های قبلی بگذارند یا این‌که سکه‌های قبلی (یا میز) را جا به جا کنند. در ضمن سکه‌ها نباید از سطح میز خارج شوند. بازیکنی که در نوبت خود نتواند سکه‌ی جدیدی به میز اضافه کند بازی را باخته است.

دوست‌تان به شما پیشنهاد می‌کند که بازی را شروع کنید. آیا باید قبول کنید که آغازگر بازی باشید؟ در صورتی که پذیرفتید چه تاکتیکی را باید در پیش بگیرید که بردتان قطعی باشد؟

برای حل این مساله ۵ دقیقه وقت دارید. پاسخ را این‌جا ببینید.

۴

ریاضی‌دان کسل و یازده زندانی

شما و ده نفر از دوستان‌تان توسط ریاضی‌دانی که حوصله‌اش سر رفته و دنبال هیجان می‌گردد به اسارت گرفته‌ شده‌اید و فقط به شرط آن‌که بتوانید معمایی که برای شما در نظر گرفته را به درستی حل کنید آزادتان خواهد کرد.

شما قرار است در اتاق‌های جداگانه (شماره‌ی یک تا یازده) زندانی شوید به گونه‌ای که هیچ راهی برای ارتباط برقرار کردن با هم نخواهید داشت و هیچ راهی هم برای فرار یا سرپیچی ندارید. ریاضی‌دان به صورت کاملا تصادفی و در زمان‌های پیش‌بینی‌ نشده یکی از شما زندانی‌ها را بدون این‌که سایر زندانی‌ها متوجه شوند به اتاق شماره‌ی دوازده می‌برد. در این اتاق یک لامپ و یک کلید وجود دارد. هر زندانی که وارد اتاق می‌شود می‌تواند هر تعداد که لازم دید وضعیت کلید را عوض کند (لامپ را خاموش یا روشن کند). در ضمن ریاضی‌دان هرگز به وضعیت لامپ و کلید دست نمی‌زند و فقط زندانی‌هایی که از اتاق بازدید می‌کنند حق دارند لامپ را خاموش یا روشن کنند. در ضمن فرض کنید لامپ و کلید هرگز خراب نمی‌شوند.

ریاضی‌دان بازدیدکننده‌های اتاق دوازده و همین‌طور زمان بازدید را به صورت تصادفی انتخاب می‌کند. او ممکن است یک سال تمام هیچ‌کس را به اتاق شماره‌ی دوازده نفرستد، و در عین حال ممکن است ظرف یک روز یک نفر را ۵۰ بار پشت سر هم به آن اتاق بفرستد. شما هیچ راهی برای این‌که حدس بزنید کدام‌‌یک و با چه تکثری به اتاق شماره‌ی دوازه خواهید رفت ندارید.

معمایی که برای شما در نظر گرفته شده این است که راهی پیدا کنید که بتوانید بفهمید کی همه‌ی شما دست کم یک‌بار به اتاق شماره‌ی دوازده رفته‌اید. در این صورت یکی از شما (هر کدام که خواستید) این نکته را به ریاضی‌دان اعلام خواهد کرد و در صورتی که درست باشد همه آزاد می‌شوید. اشکالی ندارد اگر این نکته با تاخیر اعلام شود اما نباید اشتباه باشد. یعنی اگر یکی از شما به ریاضی‌دان بگوید «حالا همه‌ی ما دست کم یک بار به اتاق دوازده رفته‌ایم» ولی حتی یکی از شما هنوز به اتاق نرفته باشد، شما شکست خورده‌اید و برای همیشه اسیر خواهید ماند.

در آغاز ریاضی‌دان به شما ۵ دقیقه فرصت می‌دهد تا با هم مشورت کنید تا راه‌حلی بیابید و برنامه‌تان را با هم هماهنگ کنید. بعد از این پنج دقیقه بازی شروع خواهد شد و شما به زندان‌های خود خواهید رفت.

نقشه‌ی شما چه خواهد بود؟ چطور می‌توانید از این زندان نجات پیدا کنید؟

(توضیح بیشتر: می‌توانید مساله‌ی بالا را به این صورت ببینید که زندانی‌ها از طریق مراجعه به اتاق شماره‌ی دوازده فقط یک بیت اطلاعات برای ارتباط برقرار کردن با هم دارند. زندانی‌ها امکان خارج کردن چراغ را از اتاق دوازده ندارند. روشن یا خاموش بودن چراغ فقط وقتی مشخص می‌شود که داخل اتاق باشید و از بیرون چیزی دیده نمی‌شود. ریاضی‌دان وضعیت آغازین چراغ را به زندانیان گفته است‌‌ و چراغ در ابتدا خاموش است. البته چنانچه وضعیت چراغ مشخص نباشد هم مساله راه حل دارد).

برای حل این مساله ۵ دقیقه وقت دارید. پاسخ را این‌جا ببینید.


با توجه به فیلتر بودن بامدادی در ایران، لطفا مطالب آن‌را از طریق اشتراک در خوراک آن پی‌گیری کنید. استفاده از مطالب و عکس‌های منتشر شده در وبلاگ‌ها و فوتوبلاگ‌های من به شرط «نقل قول دقیق»، «ذکر ماخذ» و «ارجاع لینک به اصل پست» بلا مانع است. در ضمن جهت گفتگو و تبادل نظر، شما را به حضور و مشارکت در گوگل‌پلاس دعوت می‌کنم.

حاصل جمع همه‌ی عددهای طبیعی نامتناهی نیست؟!

1+2+3+4+5+6+7+... = ?

حاصل جمع همه‌ی اعداد طبیعی  چند می‌شود؟ سوالی بدیهی به نظر می‌رسد. عبارت بالا یک سری واگرا به بی‌نهایت است. اما این عبارت در برخی مدل‌های فیزیک مدرن ظاهر می‌شود. حالا یا باید فرض را بر این گرفت که واقعا با یک پدیده‌ی «نامتنهایی» رو به رو هستیم، یا مدل‌ها نادرست هستند و یا این‌که می‌توان مقداری متناهی‌ برای سری بالا در نظر گرفت. در واقع برای جمع بالا می‌توان یک مقدار متنهایی یافت:

حاصل جمع مورد نظر (جمع کل عددهای طبیعی) را S3 می‌نامیم. برای محاسبه‌ی آن به دو جمع ساده‌تر نیاز داریم که آن‌ها را S1 و S2 می‌نامیم. این اثبات به این صورت است:

bamdadi-all-natural-numbers-1of3بسته به این که تعداد فرد باشد یا زوج مقدار جمع صفر یا یک می‌شود. پس میانگین آن را در نظر می‌گیریم، یعنی \frac{1}{2} .

حالا سراغ S2 می‌رویم:bamdadi-all-natural-numbers-2of3حالا عبارت S3-S2 را می‌نویسم که منجر به محاسبه‌ی S3 می‌شود:

bamdadi-all-natural-numbers-3of3حاصل سری واگرا به بی‌نهایت جمع همه‌ی اعداد طبیعی -\frac{1}{12} می‌شود! اما چطور چنین چیزی ممکن است؟ چگونه می‌شود سری‌ بالا که همه‌ی خرده‌ جمع‌های آن صعودی و طبیعی هستند در بی‌نهایت به یک عدد منفی همگرا شود؟! من هم مثل شما اول به راه حل بالا ایراد گرفتم و به نظرم رسید که برخی پیش‌فرض‌های اساسی در کار با سری‌های نامتنهایی را نادیده گرفته است. اما راه حال بالا اصول اولیه‌ی رفتار با سری‌های واگرا را زیر پا نمی‌گذارد. اما چطور چنین چیزی ممکن است؟

یک راه فرار از این مخمصه منطقی این است که علامت «مساوی» یا «همگرایی» را حذف کنیم و مدعی شویم که  -\frac{1}{12} یک نام یا یک برچسب برای سری مذکور است. همان‌طور که قبلا هم ذکر کردم، وقتی صحبت از «فیزیک» و پدیده‌های قابل اندازه‌گیری یا قابل مشاهده می‌شود اطلاق «نامتناهی» به پدیده‌ها جسارت بسیار زیادی می‌خواهد، در نتیجه شاید منهای یک دوازدهم آن‌قدرها هم عدد عجیبی نباشد!

It’s by no means obvious, but this is the only sensible value one can attach to this divergent sum. Infinity is not a sensible value. In my opinion, as a physicist, infinity has no place in physical observables, and therefore no place in Nature. David Hilbert, one of the founding fathers of quantum mechanics, described infinity as “a mathematical abstraction that does not have a physical content.” I think most physicists would firmly agree with this sentiment. The trouble is that divergent sums like the one we discuss in the video do appear in calculations of physical observables, such as the Casimir energy, or in the dimensionality of the Universe in bosonic string theory. Therefore, only a very brave individual would dream of attaching the value infinity to sums like this. Minus a twelfth is far less crazy a value when you start talking about physics.{+}

 

در مورد این سری و حاصل متناهی آن می‌توانید این‌جا یا این‌جا بیشتر بخوانید یا اگر ترجیح می‌دهید تماشا کنید.


با توجه به فیلتر بودن بامدادی در ایران، لطفا مطالب آن‌را از طریق اشتراک در خوراک آن پی‌گیری کنید. استفاده از مطالب و عکس‌های منتشر شده در وبلاگ‌ها و فوتوبلاگ‌های من به شرط «نقل قول دقیق»، «ذکر ماخذ» و «ارجاع لینک به اصل پست» بلا مانع است. در ضمن جهت گفتگو و تبادل نظر، شما را به حضور و مشارکت در گوگل‌پلاس دعوت می‌کنم.

 

معمای غیرممکن

معمای غیرممکن یکی از مساله‌های مشهور ریاضیه که صورت‌های مختلفی داره. من این‌جا نسخه‌ی کلاسیکش رو می‌نویسم. علت شهرت این مساله اینه که در نگاه اول به نظر می‌رسه اطلاعات کافی برای حل اون به صورت یکتا وجود نداره. اما در واقع مساله قابل حله. به خاطر همین نکته بعضی‌ها اسمش رو گذاشتن «معمای غیرممکن». جا داره از دوست خوبم  احسان که این مساله رو به من معرفی کرد تشکر کنم. در واقع این پست به دنبال بحث مفصلی که برای حل این مساله در گوگل پلاس در گرفت منتشر می‌شه (لینک‌ رو الان باز نکنید چون جواب‌ها توش بحث شده). این قدر این مساله رو دوست داشتم که حیف‌ام اومد توی بامدادی نداشته باشمش :). مساله ساده‌ای نیست اما ارزش داره که روش فکر کنید، حتی اگر جواب رو به صورت سیستماتیک و کامل پیدا نکنید باز هم از فرایند حل کردنش کلی لذت خواهید برد. توجه کنید که جواب نهایی یکتاست و کلکی هم توی کار نیست.

مساله‌ی غیرممکن

x  و y دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ هستند که جمع آن‌ها کمتر از ۱۰۰ است.  حاصل ضرب این دو عدد را به ضیا و حاصل‌ جمع‌شان را به جیران می‌گوییم (آن‌ها اطلاعات داده شده در جملات قبلی را نیز دارند). گفتگوی زیر بین آن‌ها انجام می‌شود:

ضیا: من نمی‌توانم عددها را پیدا کنم.

جیران: من مطمئن بودم که تو نمی‌توانی آن‌ها را پیدا کنی.

ضیا: من عددها را یافتم.

جیران: من هم عددها را یافتم.

دو عدد x و y را بیابید.

حل مساله زمان خاصی ندارد اما برای چالش بیشتر سعی کنید آن را در کمتر از ۴ ساعت حل کنید. یکی از راه حل‌های این مساله را می‌توانید این‌جا  ببینید.


با توجه به فیلتر بودن بامدادی در ایران، لطفا مطالب آن‌را از طریق اشتراک در خوراک آن پی‌گیری کنید. استفاده از مطالب و عکس‌های منتشر شده در وبلاگ‌ها و فوتوبلاگ‌های من به شرط «نقل قول دقیق»، «ذکر ماخذ» و «ارجاع لینک به اصل پست» بلا مانع است.

جمع ویژه

این مساله را مدت‌ها پیش نوشته بودم اما چون کمتر حالت «خارج از چارچوب» دارد در منتشر کردنش تردید داشتم. یک چالش می‌تواند محدودیت زمانی باشد، فرضا سعی کنید آن را در کمتر از یک دقیقه حل کنید.

فرض کنیم نوعی جمع ویژه داریم که بر اساس آن برابری‌های زیر صادق هستند:

۱۴۱۰۹۴ = ۲+۷+۵

۱۸۲۴۶۶ = ۳+۶+۸

۳۶۱۲۳۶ = ۴+۹+۳

در این صورت حاصل جمع ویژه ۶+۹+۲ چیست؟

پاسخ را این‌جا ببینید.


با توجه به فیلتر بودن بامدادی در ایران، لطفا مطالب آن‌را از طریق اشتراک در خوراک آن پی‌گیری کنید. استفاده از مطالب و عکس‌های منتشر شده در وبلاگ‌ها و فوتوبلاگ‌های من به شرط «نقل قول دقیق»، «ذکر ماخذ» و «ارجاع لینک به اصل پست» بلا مانع است.

سرآغاز و مسالهٔ ریاضی

فرض کنیم شما دارای قابلیت ویژه‌ای هستید. به این صورت که هر بار به خواب می‌روید درک زمان برای شما تندتر می‌شود و زمان با سرعت دو برابر حالت بیداری برای شما سپری می‌شود (دو دقیقه حالت خواب مثل یک دقیقه حالت بیداری می‌شود) بدون این‌که قدرت محاسباتی شما در واحد زمان ادراک شده کاهش یابد. در ضمن شما قادر هستید همان‌طور که خواب هستید، خواب ببینید که می‌خوابید (خواب در خواب) و وقتی در حالت «خواب در خواب» هستید می‌توانید به خواب بروید و خواب ببینید که می‌خوابید (خواب در خواب در خواب) و الی آخر  … و هر بار هم درک زمان برای شما به همان ترتیب تندتر می‌شود. در ضمن شما همیشه می‌توانید در هر شرایطی در بدترین حالت ظرف مدت ۵ دقیقه (زمان ادراک شده) به خواب روید و در هر شرایطی هم بلافاصله بیدار شوید.

به شما مساله‌ای می‌دهند که حل ذهنی آن به ۱۰۰ دقیقه زمان احتیاج دارد اما شما فقط ۲۰ دقیقه وقت دارید. چطور مساله را به صورت ذهنی حل می‌کنید؟

نام این سوال را از فیلم سرآغاز (inception) اقتباس کرده‌ام.  پاسخ را این‌جا ببینید.


با توجه به فیلتر بودن بامدادی در ایران، لطفا مطالب آن‌را از طریق اشتراک در خوراک آن پی‌گیری کنید. استفاده از مطالب و عکس‌های منتشر شده در وبلاگ‌ها و فوتوبلاگ‌های من به شرط «نقل قول دقیق»، «ذکر ماخذ» و «ارجاع لینک به اصل پست» بلا مانع است.

دشوارترین معمای منطقی همه دوران‌ها

همان‌طور که وب‌گردی می‌کردم عنوان «دشوارترین* معمای منطقی همهٔ دوران‌ها» توجهم را جلب کرد. معما جنبهٔ آکادمیک دارد و توسط یک ریاضی‌دان بدشانس** آمریکایی به نام آقای جورج بولوس طراحی شده و صورت کامل‌تری از یک سلسله معماهای قدیمی‌تر است. طرح بومی‌سازی شدهٔ معما به این صورت است:

شما با سه سیاست‌مدار حرفه‌ای طرف هستید که بدون هیچ ترتیب معینی آن‌ها را اولی، دومی و سومی می‌نامیم. یکی از این سیاست‌مدارها «راست‌گو» است، دیگری «دروغ‌گو» است و آخری هم «تصادفی» است یعنی گاهی «راست‌‌گو» است و گاهی «دروغ‌گو». ماموریت شما این است که با پرسیدن سه سوال از نوع «بله یا خیر» (هر سوال باید دقیقا از یک سیاست‌مدار ‍پرسیده شود) هویت این سیاست‌مداران را تشخیص دهید. هر سه سیاست‌مدار فارسی می‌فهمند اما سوال‌ها را به زبان خودشان پاسخ می‌دهند که در آن معادل «بله» یا «خیر» یکی از واژه‌های «آهان» یا «اوهوم» می‌شود و شما نمی‌دانید کدام یعنی «بله» و کدام یعنی «خیر».

نکته‌های زیر را هم جهت شفاف‌سازی‌ در نظر داشته باشید:

  • این امکان وجود دارد که از بعضی از سیاست‌مداران بیشتر از یک سوال ‍پرسیده شود و از بعضی دیگر هیچ  سوالی پرسیده نشود.
  • این امکان وجود دارد که سوال دوم و این‌که از کدام سیاست‌مدار پرسیده شود بستگی به پاسخ سوال اول داشته باشد. همین قانون در مورد سوال سوم هم صادق است.
  • در مورد سیاست‌مدار «تصادفی» این‌طور فکر کنید که این سیاست‌مدار داخل ذهنش یک سکه پنهانی دارد و هر بار که از او سوال می‌شود سکه را می‌اندازد. اگر سکه شیر آمد تصمیم می‌گیرد «راست» بگوید و اگر خط آمد «دروغ» خواهد گفت.
  • سیاست‌مدار تصادفی هم مثل بقیه سیاست‌مداران پاسخ هر سوال بله-خیر را به صورت «آهان» و «اوهوم» می‌دهد.

کمی راهنمایی: حتما شما هم مثل من یکی از روایت‌های قدیمی و ساده‌تر این معما را شنیده‌اید. همان‌که بزرگ‌مهر حکیم در زندانی است که دو دروازهٔ خروجی دارد: یکی «آزادی» و دیگری «مرگ». دو نگهبان از این دروازه‌ها پاسداری می‌کنند. یکی از این نگهبان‌ها راست‌گو و دیگری دروغ‌گوست. بزرگ‌مهر باید با پرسیدن فقط یک سوال از یکی از این نگهبان‌ها دروازهٔ آزادی را تشخیص دهد. پاسخ این چندان دشوار نیست. نکته این است که بزرگ‌مهر باید با پرسیدن سوالی که از فیلتر هر دو نگهبان عبور می‌کند به «دروغ» قطعی برسد. راست-دروغ یا دروغ-راست هر دو دروغ است. در نتیجه بزرگ‌مهر کافی است یکی از دروازه‌ها را نشان کند و از هر کدام از نگهبان‌ها که دلش خواست سوال کند: «اگر من از آن یکی نگهبان بپرسم آیا این دروازه‌ آزادی است چه پاسخی به من خواهد داد؟» نگهبان هر پاسخی دهد بزرگ‌مهر باید آن را معکوس کند.

«دشوارترین معمای منطقی همه دوران‌ها» شاید سخت‌ترین معمای همهٔ دوران‌ها نباشد اما به هر حال می‌توانید مطمئن باشید برای حل کردن آن (یا حتی درک پاسخ آن) به مقدار قابل توجهی علاقه، فسفر و زمان نیاز دارید.

پاسخ را می‌توانید این‌جا بخوانید.

* به نظر من هیچ ضدتبلیغی موثرتر از چسباندن صفت «ترین» به انتهای موضوع مورد تبلیغ نیست.
** اولین خط صفحهٔ معرفی آقای جورج بولوس با این جمله شروع می‌شود: «با جورج بول» اشتباه نشود. در ضمن ایشان به فاصلهٔ چند ماه از انتشار مقاله‌اش درگذشت.

با توجه به فیلتر بودن بامدادی در ایران، لطفا مطالب آن‌را از طریق اشتراک در خوراک آن پی‌گیری کنید. استفاده از مطالب و عکس‌های منتشر شده در وبلاگ‌ها و فوتوبلاگ‌های من به شرط «نقل قول دقیق»، «ذکر ماخذ» و «ارجاع لینک به اصل پست» بلا مانع است.

خداحافظ ماشین حساب مهندسی، سلام آقای ولفرام!

هشدار: اگر به ریاضیات علاقمند هستید ممکن است این پست شما را دیوانه کند!

شما را نمی‌دانم اما آشنایی با سایت ولفرام آلفا (Wolfram Alpha) برای من فوق‌العاده هیجان‌انگیز بود. این سایت شاید یکی از شاخص‌ترین و جذاب‌ترین مصداق‌های پدیده‌ی محاسبات ابری (Cloud Computing) در دنیای علم و دانش باشد. در صفحه‌ی توضیحات این سایت آمده که ولفرام آلفا یک موتور جستجو نیست بلکه یک موتور محاسباتی دانش (Computational Knowledge Engine) است. یعنی برای پاسخ دادن به سوال شما چیزی را در وب جستجو نمی‌کند بلکه پاسخ شما را محاسبه می‌کند. بگذارید به جای توضیح یک مثال بزنم تا موضوع روشن‌تر شود. فرض کنید می‌خواهید انتگرال معین (یا نامعین) یک تابع را حساب کنید و بنا به دلایلی در حل آن گیر کرده‌اید. کافی است تابع را توی ولفرام آلفا بزنید. فرض کنید تابع ما این باشد:

\int_{0}^{+\infty}x^{5}e^{-\frac{x^2}{2} }\ dx

در صفحه‌ی اول ولفرام آلفا تابع را می‌نویسیم. نیازی به استفاده از فرمت یا دستور خاصی نیست. همان‌طور ساده می‌نویسیم و کلید enter را فشار می‌دهیم. نتیجه خیره کننده است و محض نمونه همه‌ی آن را این‌جا به صورت تصویر می‌آورم:

نتیجه را می‌توانید به صورت PDF هم دریافت کنید. توجه داشته باشید همه چیز محاسبه می‌شود و هیچ اطلاعاتی به صورت آماده به شما تحویل داده نشده است. خوب، تا همین‌جا نمودار، ریشه‌ها، بسط آن حول نقطه‌ی صفر، مشتق اول و انتگرال نامعین و معین، نقاط اکسترمم و مقادیر تابع در آن‌ها، مقدار حدی تابع در بی‌نهایت، شکل‌های مختلف نمایش تابع، سه نوع مختلف نمایش تابع به صورت سری و همین‌طور نمایش انتگرالی تابع را نشان داده است.

حالا برای این که اعصابتان کاملا به هم بریزد، آن‌جایی که نتیجه انتگرال نامعین را نشان داده لینکی هست به نام show steps. رویش کلیک کنید:

مراحل محاسبه انتگرال را همراه با شرح و توضیح مکفی نشان می‌دهد. باور کنید این جور وبسایت‌ها نابوده کننده وقت و اعصاب و روان مردم بی‌نوا هستند. توی همین یک سایت آدم می‌تواند عمرش را به کل هدر دهد و باز ویر بازی با فرمول‌ها و کوچه و پس کوچه‌های زیبای ریاضی‌اش ننشیند.

موضوع فقط این نیست که بتوانیم این عبارت‌ها را به سادگی محاسبه کنیم چون که این نوع محاسبات را کم و بیش با نرم‌افزارهایی مانند Matlab یا Mathematica یا Maple هم می‌شد انجام داد. موضوع این است که دیگر خبری از نرم‌افزارهای سنگین و گران‌قیمت که نیاز به نصب شدن داشته باشند ندارید. همه چیز تحت وب اجرا می‌شود. تصور کنید چنین امکان رایگان و در دسترسی چقدر می‌تواند برای دانش‌آموزان، دانش‌جویان یا عموم مردم جنبه‌ی آموزشی و کاربردی داشته باشد.

چند نمونه‌ی پیشنهادی:

  1. توابع خاص، مثلا تابع گاما (که همیشه عاشق خواص عجیب و غریب اش بوده ام)
    \Gamma (x)
  2. تابع بازگشتی دلخواه
    f(n) =  \frac{n}{f(n-1)} \ ,\ f(1)=1
  3. فراکتال‌های دلخواه، مثلا فراکتال منحنی هیلبرت با چهار تکرار، یا فراکتال مندلبرات با یک نقطه شروع دلخواه
  4. انواع اتوماتای سلولی (cellular automaton)

ولفرام آلفا فقط برای محاسبات ریاضی نیست. چیزهایی مثل تاریخ یک روز خاص، بارکد یا کدهای ISBN، محاسبه یک سال سیاره مشتری، اطلاعات مربوط به کوه دماوند، مقایسه خصوصیات آب و آمونیاک و اسید کلریدریک (یا هر عنصر و ماده دیگری)، نسبت فامیلی دختر خواهر عموی عمویتان با شما یا تعداد کاربران اینترنت در اروپا را هم می توانید در آن پیدا کنید. فکر کنم صرف‌نظر از کاربردهای جدی، همین گالری مثال‌های ولفرام آلفا می‌تواند به اندازه‌ی چندین ساعت (روز و هفته و …) شما را سرگرم کند.


بامدادی نجواها یک‌عکاس [silent-clicks]
استفاده از مطالب و عکس‌های منتشر شده در وبلاگ‌ها و فوتوبلاگ‌های من به شرط «نقل قول دقیق»، «ذکر ماخذ» و «ارجاع لینک به اصل پست» بلا مانع است.