حاصل جمع همه‌ی عددهای طبیعی نامتناهی نیست؟!

1+2+3+4+5+6+7+... = ?

حاصل جمع همه‌ی اعداد طبیعی  چند می‌شود؟ سوالی بدیهی به نظر می‌رسد. عبارت بالا یک سری واگرا به بی‌نهایت است. اما این عبارت در برخی مدل‌های فیزیک مدرن ظاهر می‌شود. حالا یا باید فرض را بر این گرفت که واقعا با یک پدیده‌ی «نامتنهایی» رو به رو هستیم، یا مدل‌ها نادرست هستند و یا این‌که می‌توان مقداری متناهی‌ برای سری بالا در نظر گرفت. در واقع برای جمع بالا می‌توان یک مقدار متنهایی یافت:

حاصل جمع مورد نظر (جمع کل عددهای طبیعی) را S3 می‌نامیم. برای محاسبه‌ی آن به دو جمع ساده‌تر نیاز داریم که آن‌ها را S1 و S2 می‌نامیم. این اثبات به این صورت است:

bamdadi-all-natural-numbers-1of3بسته به این که تعداد فرد باشد یا زوج مقدار جمع صفر یا یک می‌شود. پس میانگین آن را در نظر می‌گیریم، یعنی \frac{1}{2} .

حالا سراغ S2 می‌رویم:bamdadi-all-natural-numbers-2of3حالا عبارت S3-S2 را می‌نویسم که منجر به محاسبه‌ی S3 می‌شود:

bamdadi-all-natural-numbers-3of3حاصل سری واگرا به بی‌نهایت جمع همه‌ی اعداد طبیعی -\frac{1}{12} می‌شود! اما چطور چنین چیزی ممکن است؟ چگونه می‌شود سری‌ بالا که همه‌ی خرده‌ جمع‌های آن صعودی و طبیعی هستند در بی‌نهایت به یک عدد منفی همگرا شود؟! من هم مثل شما اول به راه حل بالا ایراد گرفتم و به نظرم رسید که برخی پیش‌فرض‌های اساسی در کار با سری‌های نامتنهایی را نادیده گرفته است. اما راه حال بالا اصول اولیه‌ی رفتار با سری‌های واگرا را زیر پا نمی‌گذارد. اما چطور چنین چیزی ممکن است؟

یک راه فرار از این مخمصه منطقی این است که علامت «مساوی» یا «همگرایی» را حذف کنیم و مدعی شویم که  -\frac{1}{12} یک نام یا یک برچسب برای سری مذکور است. همان‌طور که قبلا هم ذکر کردم، وقتی صحبت از «فیزیک» و پدیده‌های قابل اندازه‌گیری یا قابل مشاهده می‌شود اطلاق «نامتناهی» به پدیده‌ها جسارت بسیار زیادی می‌خواهد، در نتیجه شاید منهای یک دوازدهم آن‌قدرها هم عدد عجیبی نباشد!

It’s by no means obvious, but this is the only sensible value one can attach to this divergent sum. Infinity is not a sensible value. In my opinion, as a physicist, infinity has no place in physical observables, and therefore no place in Nature. David Hilbert, one of the founding fathers of quantum mechanics, described infinity as “a mathematical abstraction that does not have a physical content.” I think most physicists would firmly agree with this sentiment. The trouble is that divergent sums like the one we discuss in the video do appear in calculations of physical observables, such as the Casimir energy, or in the dimensionality of the Universe in bosonic string theory. Therefore, only a very brave individual would dream of attaching the value infinity to sums like this. Minus a twelfth is far less crazy a value when you start talking about physics.{+}

 

در مورد این سری و حاصل متناهی آن می‌توانید این‌جا یا این‌جا بیشتر بخوانید یا اگر ترجیح می‌دهید تماشا کنید.


با توجه به فیلتر بودن بامدادی در ایران، لطفا مطالب آن‌را از طریق اشتراک در خوراک آن پی‌گیری کنید. استفاده از مطالب و عکس‌های منتشر شده در وبلاگ‌ها و فوتوبلاگ‌های من به شرط «نقل قول دقیق»، «ذکر ماخذ» و «ارجاع لینک به اصل پست» بلا مانع است. در ضمن جهت گفتگو و تبادل نظر، شما را به حضور و مشارکت در گوگل‌پلاس دعوت می‌کنم.

 

Advertisements