معمای دو جعبه‌ی حاوی پول

فرض کنید در یک مسابقه‌ی تلویزیونی شرکت کرده‌اید. دو جعبه حاوی پول که از نظرِ ظاهری (شکل، رنگ، وزن، …) کاملاً مشابه هستند، پیشِ روی شما قرار دارد. به شما گفته می‌شود که مبلغِ موجود در یکی از این‌ جعبه‌ها دو برابرِ دیگری است. شما باید یکی از این دو جعبه را انتخاب و باز کنید و مبلغِ داخلِ آن به شما تعلق خواهد گرفت. در ضمن شما حق دارید پس از برداشتنِ یک جعبه، ولی قبل از وارسی یا باز کردنِ آن، آن‌را با جعبه‌ی دیگر عوض کنید.

فرض کنیم شما می‌خواهید صد در صد منطقی عمل کنید و با توجه به قوانینِ احتمالات بهترین روی‌کرد را انتخاب کنید. شما به صورتِ کاملاً تصادفی یکی از جعبه‌ها را انتخاب می‌کنید و در دست‌هایتان می‌گیرید. آیا بهتر است جعبه‌ای که در دست دارید را با دیگری عوض کنید؟

به زنجیره‌ی استدلالی زیر توجه کنید:

(۱) فرض کنیم جعبه‌ای که در دست دارید حاویِ مبلغِ N باشد.
(۲) در این صورت احتمالِ این‌که N مبلغِ کمتر باشد ۱/۲ است. به همین نحو، احتمالِ این‌که N مبلغِ بیشتر باشد نیز ۱/۲ است.
(۳) جعبه‌ی دیگری یا حاویِ ۲N است و یا حاویِ N/۲. اگر N که اکنون در دست‌هایِ شماست مبلغِ کمتر باشد، جعبه‌ی دیگر حاویِ ۲N است، به همین ترتیب اگر N که در دست‌هایِ شماست مبلغِ بیشتر باشد، جعبه‌ی دیگر حاویِ N/۲ است.
(۴) بنابراین احتمالِ این‌که جعبه‌ی دیگر حاویِ ۲N باشد ۱/۲ است، و احتمالِ این‌که جعبه‌ی دیگر حاویِ N/۲ باشد نیز ۱/۲ است.
(۵) در نتیجه مقدار مورد انتظار (expected value) پولِ موجود در جعبه‌ی دیگر چنین است:

(1/2)(2N) + (1/2)(N/2) = (5/4)N

(۶) این مقدار بالاتر از N است. در نتیجه به طورِ میانگین عوض کردنِ جعبه منجر به نتیجه‌ی بهتر می‌شود.
(۷) بعد از عوض کردنِ جعبه می‌توانید فرض کنید که مبلغِ موجود در این جعبه M است و با استدلالی مشابهِ بالا به این نتیجه برسید که کارِ منطقی این است که جعبه را مجدداً عوض کنید.
(۸) این‌طور به نظر می‌رسد که برایِ این‌که رفتاری منطقی داشته باشید باید به صورتی بی‌پایان به عوض کردنِ جعبه‌ها ادامه دهید.
(۹) از طرفِ دیگر، عقلِ سلیم به ما می‌گوید که منطقی‌ترین کار این است که صرفاً یکی از دو جعبه را به صورتِ تصادفی انتخاب کنیم و آن‌را باز کنیم.

به نظر می‌رسد مسأله‌ای چنین ساده به تناقض‌ یا تناقض‌گونه‌ای ختم شده است. آیا می‌توانید به شکلی دقیق و قاطع این تناقض را شناسایی کنید و شرح دهید؟

پی‌نوشت: درباره‌ی پاسخِ این مسأله «به زودی» در این‌جا خواهم نوشت.

Advertisements

معما: احتمالِ پاسخِ تصادفی درست به یک سوال

quiz

سوال:

اگر به صورتِ کاملاً تصادفی یکی از پاسخ‌های زیر را انتخاب کنید، احتمالِ این‌که پاسخِ درست را انتخاب کرده باشید چقدر است؟
الف) ۲۵٪          ب) ۵۰٪            ج) ۳۳٪            د) ۲۵٪

برای حل این مسأله ده دقیقه فرصت دارید.
پاسخ را می‌توانید این‌جا ببنید.

تردستی کارت‌هایی که رنگ عوض می‌کنند

برای این‌که نظر من را در مورد این ویدئو بدانید این‌جا را کلیک کنید.


<

p style=»direction:rtl;text-align:justify;»>با توجه به فیلتر بودن بامدادی در ایران، لطفا مطالب آن‌را از طریق اشتراک در خوراک آن پی‌گیری کنید. استفاده از مطالب و عکس‌های منتشر شده در وبلاگ‌ها و فوتوبلاگ‌های من به شرط «نقل قول دقیق»، «ذکر ماخذ» و «ارجاع لینک به اصل پست» بلا مانع است. در ضمن جهت گفتگو و تبادل نظر، شما را به حضور و مشارکت در گوگل‌پلاس دعوت می‌کنم.

اندازه‌ی گیری زمان با طناب، ریاضی دان کسل و دو معمای دیگر

۱

اندازه‌ی گیری زمان با طناب

دو قطعه طناب دارید. اگر هر کدام را از یک سر آن آتش بزنید (به مثابه یک فتلیه) دقیقا یک ساعت طول می‌کشد تا کامل بسوزد، منتها طناب‌ها به خاطر ناهماهنگی‌هایی که در ضخامت‌شان دارند یکنواخت نمی‌سوزند. مثلا بعد از گذشت نیم ساعت، ممکن است کمتر یا بیشتر از نصف طناب سوخته باشد.

علاوه بر طناب‌ها شما یک فندک و یک قیچی هم دارید. شما می‌خواهید زمانی معادل ۴۵ دقیقه را اندازه‌گیری کنید. چطور می‌توانید با استفاده از این دو طناب این کار را انجام دهید؟

در صورتی که به نظرتان لازم برسد، می‌توانید طناب‌ها را به هم گره بزنید یا به قطعات کوچک‌تر تقسیم کنیم. همچنین شما می‌توانید هر چند بار که خواستید از فندک و قیچی استفاده کنید. در ضمن فرض بر این است که دو طناب مشابه هم نیستند و تنها نکته‌ی مشترک‌شان در این است که دقیقا در ۱ ساعت می‌سوزند.

برای حل این مساله ۵ دقیقه وقت دارید. پاسخ را این‌جا ببینید.

۲

حداکثر مساحت با دو قطعه طناب

قطعه‌ طنابی به طول یک متر دارید (فرض کنید ضخامت آن ناچیز است). قصد داریم این طناب را از نقطه‌ای ببریم و به دو قسمت (نه لزوما مساوی) تقسیم کنیم و یکی از این قسمت‌ها را به شکل یک دایره و قسمت دیگر را به شکل یک مربع در بیاوریم. طناب را از کدام نقطه‌ی آن ببریم تا مساحتی که توسط مربع و دایره‌ تولید می‌شود حداکثر باشد؟

اگر طناب را از دو نقطه ببریم (به سه قسمت تقسیم کنیم) و قطعه‌ها را به دایره، مربع و مثلث تبدیل کنیم چطور؟ چطور می‌توانیم مساحت سه شکل تولید شده را حداکثر کنیم؟

برای حل این مساله ۵ دقیقه وقت دارید. پاسخ را این‌جا ببینید.

۳

استراتژی برنده در بازی دو نفره با سکه‌ها

دوست‌تان به شما پیشنهاد یک بازی دو نفره را داده است. تعداد کافی سکه‌‌ی کاملا مشابه در اختیار دارید و قرار است به نوبت هر کدام یک سکه را روی سطح میزی به شکل دایره قرار دهید. در آغاز سطح میز کاملا خالی است. بازیکن‌ها در نوبت خود می‌توانند سکه‌‌ی جدید را در هر قسمت از سطح میز که مایل هستند بگذارند، اما نمی‌توانند آن‌ را روی سکه‌های قبلی بگذارند یا این‌که سکه‌های قبلی (یا میز) را جا به جا کنند. در ضمن سکه‌ها نباید از سطح میز خارج شوند. بازیکنی که در نوبت خود نتواند سکه‌ی جدیدی به میز اضافه کند بازی را باخته است.

دوست‌تان به شما پیشنهاد می‌کند که بازی را شروع کنید. آیا باید قبول کنید که آغازگر بازی باشید؟ در صورتی که پذیرفتید چه تاکتیکی را باید در پیش بگیرید که بردتان قطعی باشد؟

برای حل این مساله ۵ دقیقه وقت دارید. پاسخ را این‌جا ببینید.

۴

ریاضی‌دان کسل و یازده زندانی

شما و ده نفر از دوستان‌تان توسط ریاضی‌دانی که حوصله‌اش سر رفته و دنبال هیجان می‌گردد به اسارت گرفته‌ شده‌اید و فقط به شرط آن‌که بتوانید معمایی که برای شما در نظر گرفته را به درستی حل کنید آزادتان خواهد کرد.

شما قرار است در اتاق‌های جداگانه (شماره‌ی یک تا یازده) زندانی شوید به گونه‌ای که هیچ راهی برای ارتباط برقرار کردن با هم نخواهید داشت و هیچ راهی هم برای فرار یا سرپیچی ندارید. ریاضی‌دان به صورت کاملا تصادفی و در زمان‌های پیش‌بینی‌ نشده یکی از شما زندانی‌ها را بدون این‌که سایر زندانی‌ها متوجه شوند به اتاق شماره‌ی دوازده می‌برد. در این اتاق یک لامپ و یک کلید وجود دارد. هر زندانی که وارد اتاق می‌شود می‌تواند هر تعداد که لازم دید وضعیت کلید را عوض کند (لامپ را خاموش یا روشن کند). در ضمن ریاضی‌دان هرگز به وضعیت لامپ و کلید دست نمی‌زند و فقط زندانی‌هایی که از اتاق بازدید می‌کنند حق دارند لامپ را خاموش یا روشن کنند. در ضمن فرض کنید لامپ و کلید هرگز خراب نمی‌شوند.

ریاضی‌دان بازدیدکننده‌های اتاق دوازده و همین‌طور زمان بازدید را به صورت تصادفی انتخاب می‌کند. او ممکن است یک سال تمام هیچ‌کس را به اتاق شماره‌ی دوازده نفرستد، و در عین حال ممکن است ظرف یک روز یک نفر را ۵۰ بار پشت سر هم به آن اتاق بفرستد. شما هیچ راهی برای این‌که حدس بزنید کدام‌‌یک و با چه تکثری به اتاق شماره‌ی دوازه خواهید رفت ندارید.

معمایی که برای شما در نظر گرفته شده این است که راهی پیدا کنید که بتوانید بفهمید کی همه‌ی شما دست کم یک‌بار به اتاق شماره‌ی دوازده رفته‌اید. در این صورت یکی از شما (هر کدام که خواستید) این نکته را به ریاضی‌دان اعلام خواهد کرد و در صورتی که درست باشد همه آزاد می‌شوید. اشکالی ندارد اگر این نکته با تاخیر اعلام شود اما نباید اشتباه باشد. یعنی اگر یکی از شما به ریاضی‌دان بگوید «حالا همه‌ی ما دست کم یک بار به اتاق دوازده رفته‌ایم» ولی حتی یکی از شما هنوز به اتاق نرفته باشد، شما شکست خورده‌اید و برای همیشه اسیر خواهید ماند.

در آغاز ریاضی‌دان به شما ۵ دقیقه فرصت می‌دهد تا با هم مشورت کنید تا راه‌حلی بیابید و برنامه‌تان را با هم هماهنگ کنید. بعد از این پنج دقیقه بازی شروع خواهد شد و شما به زندان‌های خود خواهید رفت.

نقشه‌ی شما چه خواهد بود؟ چطور می‌توانید از این زندان نجات پیدا کنید؟

(توضیح بیشتر: می‌توانید مساله‌ی بالا را به این صورت ببینید که زندانی‌ها از طریق مراجعه به اتاق شماره‌ی دوازده فقط یک بیت اطلاعات برای ارتباط برقرار کردن با هم دارند. زندانی‌ها امکان خارج کردن چراغ را از اتاق دوازده ندارند. روشن یا خاموش بودن چراغ فقط وقتی مشخص می‌شود که داخل اتاق باشید و از بیرون چیزی دیده نمی‌شود. ریاضی‌دان وضعیت آغازین چراغ را به زندانیان گفته است‌‌ و چراغ در ابتدا خاموش است. البته چنانچه وضعیت چراغ مشخص نباشد هم مساله راه حل دارد).

برای حل این مساله ۵ دقیقه وقت دارید. پاسخ را این‌جا ببینید.


با توجه به فیلتر بودن بامدادی در ایران، لطفا مطالب آن‌را از طریق اشتراک در خوراک آن پی‌گیری کنید. استفاده از مطالب و عکس‌های منتشر شده در وبلاگ‌ها و فوتوبلاگ‌های من به شرط «نقل قول دقیق»، «ذکر ماخذ» و «ارجاع لینک به اصل پست» بلا مانع است. در ضمن جهت گفتگو و تبادل نظر، شما را به حضور و مشارکت در گوگل‌پلاس دعوت می‌کنم.

گلوله‌ی ایده‌آل در مقابل زره ایده‌آل

از آخرین باری که در بامدادی مساله حل کردیم مدت‌ها گذشته. امروز یک مساله‌ی منطقی را منتشر می‌کنم. پاسخ آن‌را چند ساعت دیگر در وبلاگ ضمیمه‌ی بامدادی منتشر می‌کنم. برای حل این مساله ۱ دقیقه وقت دارید، چون راه حل آن طولانی نیست.

گلوله ایده‌آل در مقابل زره ایده‌آل

شرکت آلفاابزار موفق به ساخت گلوله‌ای شده‌ است که در صورت برخورد با هر سطحی صرف‌نظر از این‌که آن سطح از چه جنسی ساخته باشد و یا چه ضخامتی داشته باشد از آن عبور خواهد کرد. این شرکت این گلوله را تحت عنوان گلوله‌ی آلفا به بازار معرفی می‌کند.

از طرفی، شرکت بتاابزار هم همزمان موفق به ساخت زرهی شده است که مانع از عبور هر نوع گلوله‌ای که به آن برخورد کند، صرف نظر از سرعت گلوله یا جنس و جرم آن می‌شود. این شرکت این زره مخصوص را تحت عنوان زره بتا به بازار معرفی می‌کند.

متخصصان امور نظامی اما در شگفت هستند که چنان‌چه یک گلوله‌ی آلفا به سوی سطحی از جنس زره بتا شلیک شود چه اتفاقی خواهد افتاد؟


با توجه به فیلتر بودن بامدادی در ایران، لطفا مطالب آن‌را از طریق اشتراک در خوراک آن پی‌گیری کنید. استفاده از مطالب و عکس‌های منتشر شده در وبلاگ‌ها و فوتوبلاگ‌های من به شرط «نقل قول دقیق»، «ذکر ماخذ» و «ارجاع لینک به اصل پست» بلا مانع است. در ضمن جهت گفتگو و تبادل نظر، شما را به حضور و مشارکت در گوگل‌پلاس دعوت می‌کنم.

شیرها و خط‌ها

تعدادی (زوج) سکه به صورت کاملا تصادفی روی میز  قرار دارند و شما می‌دانید دقیقا نیمی از آن‌ها شیر هستند و نیم دیگر خط. چشم‌های شما بسته است و دست‌کش دستتان است. شما می‌توانید سکه‌ها را جابجا یا برعکس کنید اما نمی‌توانید شیر یا خط بودن آن‌ها را تشخیص دهید.

قرار است سکه‌ها را به دو دسته تقسیم کنید به طوری که تعداد شیرها و خط‌های دستهٔ اول با تعداد شیرها و خط‌های دستهٔ دوم مساوی باشد. چطور این‌کار را می‌کنید؟

پاسخ را این‌جا ببینید.


با توجه به فیلتر بودن بامدادی در ایران، لطفا مطالب آن‌را از طریق اشتراک در خوراک آن پی‌گیری کنید. استفاده از مطالب و عکس‌های منتشر شده در وبلاگ‌ها و فوتوبلاگ‌های من به شرط «نقل قول دقیق»، «ذکر ماخذ» و «ارجاع لینک به اصل پست» بلا مانع است.

دشوارترین معمای منطقی همه دوران‌ها

همان‌طور که وب‌گردی می‌کردم عنوان «دشوارترین* معمای منطقی همهٔ دوران‌ها» توجهم را جلب کرد. معما جنبهٔ آکادمیک دارد و توسط یک ریاضی‌دان بدشانس** آمریکایی به نام آقای جورج بولوس طراحی شده و صورت کامل‌تری از یک سلسله معماهای قدیمی‌تر است. طرح بومی‌سازی شدهٔ معما به این صورت است:

شما با سه سیاست‌مدار حرفه‌ای طرف هستید که بدون هیچ ترتیب معینی آن‌ها را اولی، دومی و سومی می‌نامیم. یکی از این سیاست‌مدارها «راست‌گو» است، دیگری «دروغ‌گو» است و آخری هم «تصادفی» است یعنی گاهی «راست‌‌گو» است و گاهی «دروغ‌گو». ماموریت شما این است که با پرسیدن سه سوال از نوع «بله یا خیر» (هر سوال باید دقیقا از یک سیاست‌مدار ‍پرسیده شود) هویت این سیاست‌مداران را تشخیص دهید. هر سه سیاست‌مدار فارسی می‌فهمند اما سوال‌ها را به زبان خودشان پاسخ می‌دهند که در آن معادل «بله» یا «خیر» یکی از واژه‌های «آهان» یا «اوهوم» می‌شود و شما نمی‌دانید کدام یعنی «بله» و کدام یعنی «خیر».

نکته‌های زیر را هم جهت شفاف‌سازی‌ در نظر داشته باشید:

  • این امکان وجود دارد که از بعضی از سیاست‌مداران بیشتر از یک سوال ‍پرسیده شود و از بعضی دیگر هیچ  سوالی پرسیده نشود.
  • این امکان وجود دارد که سوال دوم و این‌که از کدام سیاست‌مدار پرسیده شود بستگی به پاسخ سوال اول داشته باشد. همین قانون در مورد سوال سوم هم صادق است.
  • در مورد سیاست‌مدار «تصادفی» این‌طور فکر کنید که این سیاست‌مدار داخل ذهنش یک سکه پنهانی دارد و هر بار که از او سوال می‌شود سکه را می‌اندازد. اگر سکه شیر آمد تصمیم می‌گیرد «راست» بگوید و اگر خط آمد «دروغ» خواهد گفت.
  • سیاست‌مدار تصادفی هم مثل بقیه سیاست‌مداران پاسخ هر سوال بله-خیر را به صورت «آهان» و «اوهوم» می‌دهد.

کمی راهنمایی: حتما شما هم مثل من یکی از روایت‌های قدیمی و ساده‌تر این معما را شنیده‌اید. همان‌که بزرگ‌مهر حکیم در زندانی است که دو دروازهٔ خروجی دارد: یکی «آزادی» و دیگری «مرگ». دو نگهبان از این دروازه‌ها پاسداری می‌کنند. یکی از این نگهبان‌ها راست‌گو و دیگری دروغ‌گوست. بزرگ‌مهر باید با پرسیدن فقط یک سوال از یکی از این نگهبان‌ها دروازهٔ آزادی را تشخیص دهد. پاسخ این چندان دشوار نیست. نکته این است که بزرگ‌مهر باید با پرسیدن سوالی که از فیلتر هر دو نگهبان عبور می‌کند به «دروغ» قطعی برسد. راست-دروغ یا دروغ-راست هر دو دروغ است. در نتیجه بزرگ‌مهر کافی است یکی از دروازه‌ها را نشان کند و از هر کدام از نگهبان‌ها که دلش خواست سوال کند: «اگر من از آن یکی نگهبان بپرسم آیا این دروازه‌ آزادی است چه پاسخی به من خواهد داد؟» نگهبان هر پاسخی دهد بزرگ‌مهر باید آن را معکوس کند.

«دشوارترین معمای منطقی همه دوران‌ها» شاید سخت‌ترین معمای همهٔ دوران‌ها نباشد اما به هر حال می‌توانید مطمئن باشید برای حل کردن آن (یا حتی درک پاسخ آن) به مقدار قابل توجهی علاقه، فسفر و زمان نیاز دارید.

پاسخ را می‌توانید این‌جا بخوانید.

* به نظر من هیچ ضدتبلیغی موثرتر از چسباندن صفت «ترین» به انتهای موضوع مورد تبلیغ نیست.
** اولین خط صفحهٔ معرفی آقای جورج بولوس با این جمله شروع می‌شود: «با جورج بول» اشتباه نشود. در ضمن ایشان به فاصلهٔ چند ماه از انتشار مقاله‌اش درگذشت.

با توجه به فیلتر بودن بامدادی در ایران، لطفا مطالب آن‌را از طریق اشتراک در خوراک آن پی‌گیری کنید. استفاده از مطالب و عکس‌های منتشر شده در وبلاگ‌ها و فوتوبلاگ‌های من به شرط «نقل قول دقیق»، «ذکر ماخذ» و «ارجاع لینک به اصل پست» بلا مانع است.