معمای دو جعبه‌ی حاوی پول

فرض کنید در یک مسابقه‌ی تلویزیونی شرکت کرده‌اید. دو جعبه حاوی پول که از نظرِ ظاهری (شکل، رنگ، وزن، …) کاملاً مشابه هستند، پیشِ روی شما قرار دارد. به شما گفته می‌شود که مبلغِ موجود در یکی از این‌ جعبه‌ها دو برابرِ دیگری است. شما باید یکی از این دو جعبه را انتخاب و باز کنید و مبلغِ داخلِ آن به شما تعلق خواهد گرفت. در ضمن شما حق دارید پس از برداشتنِ یک جعبه، ولی قبل از وارسی یا باز کردنِ آن، آن‌را با جعبه‌ی دیگر عوض کنید.

فرض کنیم شما می‌خواهید صد در صد منطقی عمل کنید و با توجه به قوانینِ احتمالات بهترین روی‌کرد را انتخاب کنید. شما به صورتِ کاملاً تصادفی یکی از جعبه‌ها را انتخاب می‌کنید و در دست‌هایتان می‌گیرید. آیا بهتر است جعبه‌ای که در دست دارید را با دیگری عوض کنید؟

به زنجیره‌ی استدلالی زیر توجه کنید:

(۱) فرض کنیم جعبه‌ای که در دست دارید حاویِ مبلغِ N باشد.
(۲) در این صورت احتمالِ این‌که N مبلغِ کمتر باشد ۱/۲ است. به همین نحو، احتمالِ این‌که N مبلغِ بیشتر باشد نیز ۱/۲ است.
(۳) جعبه‌ی دیگری یا حاویِ ۲N است و یا حاویِ N/۲. اگر N که اکنون در دست‌هایِ شماست مبلغِ کمتر باشد، جعبه‌ی دیگر حاویِ ۲N است، به همین ترتیب اگر N که در دست‌هایِ شماست مبلغِ بیشتر باشد، جعبه‌ی دیگر حاویِ N/۲ است.
(۴) بنابراین احتمالِ این‌که جعبه‌ی دیگر حاویِ ۲N باشد ۱/۲ است، و احتمالِ این‌که جعبه‌ی دیگر حاویِ N/۲ باشد نیز ۱/۲ است.
(۵) در نتیجه مقدار مورد انتظار (expected value) پولِ موجود در جعبه‌ی دیگر چنین است:

(1/2)(2N) + (1/2)(N/2) = (5/4)N

(۶) این مقدار بالاتر از N است. در نتیجه به طورِ میانگین عوض کردنِ جعبه منجر به نتیجه‌ی بهتر می‌شود.
(۷) بعد از عوض کردنِ جعبه می‌توانید فرض کنید که مبلغِ موجود در این جعبه M است و با استدلالی مشابهِ بالا به این نتیجه برسید که کارِ منطقی این است که جعبه را مجدداً عوض کنید.
(۸) این‌طور به نظر می‌رسد که برایِ این‌که رفتاری منطقی داشته باشید باید به صورتی بی‌پایان به عوض کردنِ جعبه‌ها ادامه دهید.
(۹) از طرفِ دیگر، عقلِ سلیم به ما می‌گوید که منطقی‌ترین کار این است که صرفاً یکی از دو جعبه را به صورتِ تصادفی انتخاب کنیم و آن‌را باز کنیم.

به نظر می‌رسد مسأله‌ای چنین ساده به تناقض‌ یا تناقض‌گونه‌ای ختم شده است. آیا می‌توانید به شکلی دقیق و قاطع این تناقض را شناسایی کنید و شرح دهید؟

پی‌نوشت: درباره‌ی پاسخِ این مسأله «به زودی» در این‌جا خواهم نوشت.