برچسب: منهای یک دوازدهم

حاصل جمع همه‌ی اعداد طبیعی  چند می‌شود؟ سوالی بدیهی به نظر می‌رسد. عبارت بالا یک سری واگرا به بی‌نهایت است. اما این عبارت در برخی مدل‌های فیزیک مدرن ظاهر می‌شود. حالا یا باید فرض را بر این گرفت که واقعا با یک پدیده‌ی «نامتنهایی» رو به رو هستیم، یا مدل‌ها نادرست هستند و یا این‌که می‌توان مقداری متناهی‌ برای سری بالا در نظر گرفت. در واقع برای جمع بالا می‌توان یک مقدار متنهایی یافت:

حاصل جمع مورد نظر (جمع کل عددهای طبیعی) را S3 می‌نامیم. برای محاسبه‌ی آن به دو جمع ساده‌تر نیاز داریم که آن‌ها را S1 و S2 می‌نامیم. این اثبات به این صورت است:

بسته به این که تعداد فرد باشد یا زوج مقدار جمع صفر یا یک می‌شود. پس میانگین آن را در نظر می‌گیریم، یعنی .

حالا سراغ S2 می‌رویم:حالا عبارت S3-S2 را می‌نویسم که منجر به محاسبه‌ی S3 می‌شود:

حاصل سری واگرا به بی‌نهایت جمع همه‌ی اعداد طبیعی می‌شود! اما چطور چنین چیزی ممکن است؟ چگونه می‌شود سری‌ بالا که همه‌ی خرده‌ جمع‌های آن صعودی و طبیعی هستند در بی‌نهایت به یک عدد منفی همگرا شود؟! من هم مثل شما اول به راه حل بالا ایراد گرفتم و به نظرم رسید که برخی پیش‌فرض‌های اساسی در کار با سری‌های نامتنهایی را نادیده گرفته است. اما راه حال بالا اصول اولیه‌ی رفتار با سری‌های واگرا را زیر پا نمی‌گذارد. اما چطور چنین چیزی ممکن است؟

یک راه فرار از این مخمصه منطقی این است که علامت «مساوی» یا «همگرایی» را حذف کنیم و مدعی شویم که  یک نام یا یک برچسب برای سری مذکور است. همان‌طور که قبلا هم ذکر کردم، وقتی صحبت از «فیزیک» و پدیده‌های قابل اندازه‌گیری یا قابل مشاهده می‌شود اطلاق «نامتناهی» به پدیده‌ها جسارت بسیار زیادی می‌خواهد، در نتیجه شاید منهای یک دوازدهم آن‌قدرها هم عدد عجیبی نباشد!