معمای غیرممکن

معمای غیرممکن یکی از مساله‌های مشهور ریاضیه که صورت‌های مختلفی داره. من این‌جا نسخه‌ی کلاسیکش رو می‌نویسم. علت شهرت این مساله اینه که در نگاه اول به نظر می‌رسه اطلاعات کافی برای حل اون به صورت یکتا وجود نداره. اما در واقع مساله قابل حله. به خاطر همین نکته بعضی‌ها اسمش رو گذاشتن «معمای غیرممکن». جا داره از دوست خوبم  احسان که این مساله رو به من معرفی کرد تشکر کنم. در واقع این پست به دنبال بحث مفصلی که برای حل این مساله در گوگل پلاس در گرفت منتشر می‌شه (لینک‌ رو الان باز نکنید چون جواب‌ها توش بحث شده). این قدر این مساله رو دوست داشتم که حیف‌ام اومد توی بامدادی نداشته باشمش :). مساله ساده‌ای نیست اما ارزش داره که روش فکر کنید، حتی اگر جواب رو به صورت سیستماتیک و کامل پیدا نکنید باز هم از فرایند حل کردنش کلی لذت خواهید برد. توجه کنید که جواب نهایی یکتاست و کلکی هم توی کار نیست.

مساله‌ی غیرممکن

x  و y دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ هستند که جمع آن‌ها کمتر از ۱۰۰ است.  حاصل ضرب این دو عدد را به ضیا و حاصل‌ جمع‌شان را به جیران می‌گوییم (آن‌ها اطلاعات داده شده در جملات قبلی را نیز دارند). گفتگوی زیر بین آن‌ها انجام می‌شود:

ضیا: من نمی‌توانم عددها را پیدا کنم.

جیران: من مطمئن بودم که تو نمی‌توانی آن‌ها را پیدا کنی.

ضیا: من عددها را یافتم.

جیران: من هم عددها را یافتم.

دو عدد x و y را بیابید.

حل مساله زمان خاصی ندارد اما برای چالش بیشتر سعی کنید آن را در کمتر از ۴ ساعت حل کنید. یکی از راه حل‌های این مساله را می‌توانید این‌جا  ببینید.


با توجه به فیلتر بودن بامدادی در ایران، لطفا مطالب آن‌را از طریق اشتراک در خوراک آن پی‌گیری کنید. استفاده از مطالب و عکس‌های منتشر شده در وبلاگ‌ها و فوتوبلاگ‌های من به شرط «نقل قول دقیق»، «ذکر ماخذ» و «ارجاع لینک به اصل پست» بلا مانع است.

Advertisements

منتشرشده توسط

13 دیدگاه برای «معمای غیرممکن»

  1. خوب اول بگم که با یه اسکریپت سی شارپ این مساله تو حدود نیم ساعت حل شد. من این جواب رو تو سه بخش می‌دم.

    اول تحلیل مساله:

    وقتی ضیا میگه نمیتونه از رو حاصلضربی که دستشه جواب مساله رو حدس بزنه علتش خیلی سادست: حاصلضرب که دست ضیاست چند جور تجزیه میشه. تعریف: حاصلضرب خوب حاصلضربیست که فقط یک جور به اعداد طبیعی بزرگتر از یک تجزیه بشه. حاصلضرب بد حاصلضربیست که خوب نباشد. مثلا ۱۰ فقط یک جور به زوج نامرتب ۲و ۵ تجزیه میشه پس یه حاصلضرب خوبه. اما ۱۲ میتونه به زوجهای نامرتب ۳و۴ و نیز ۲و۶ تجزیه بشه پس حاصلضرب بدیه. به وضوح حاصلضربی که دست ضیاست حاصلضرب بدیه.

    وقتی جیران میگه من مطمئن بودم تو نمیتونی اعداد رو حدس بزنی، علتش اینه که حاصجمع دست جیران رو هرجور که به دوعدد طبیعی بزرگتر از یک بشکنی و اون دوعدد رو در هم ضرب کنی، باز به یه حاصلضرب بد می‌رسی.

    علت اینکه ضیا از این حرف جیران میتونه دو عدد رو حدس بزنه اینه که از میون تموم ترکیبهایی که حاصلجمع‌های حاصل از تجزیه حاصلضرب ضیا میتونه به خودش می‌گیره، دقیقا فقط یه حاصلجمعه که ویژگی بالا رو داره (نمیشه از روش عددی حدس زد).

    همچنین جیران به این علت میتونه اون عدد رو حدس بزنه که از میون تموم زوج مرتبهای حاصل از شیکوندنش، دقیقا فقط یه ترکیبه که خاصیت بالا رو داره.

    دوم حل و بحث:
    مساله جواب یکتا نداره. تمام زوجهای مرتب (۴ و ۱۳) و (۴ و ۶۱) و (۱۶ و ۷۳) در شرایط مساله می‌گنجن.

    مثلا ۴ و ۱۳ رو در نظر بگیریم. ضیا عدد ۵۲ و جیران عدد ۱۷ دستشونه.

    ضیا از رو عدد ۵۲ نمیتونه چیزی حدس بزنه چون با توجه چیزی که دستشه جواب ممکنه (۴و۱۳) یا (۲ و ۲۶) باشه.

    جیران مطمئنه که ضیا نمی‌تونه حدس بزنه چون با شکوندن ۱۷ به زوجهای (۲و۱۵)، (۳و۱۴)، (۴و۱۳)، (۵و۱۲)، (۶و۱۱)، (۷و۱۰)، (۸ و۹) میرسه. حاصلربهای این زوجای به ترتیب ۳۰، ۴۲، ۵۲، ۶۰، ۶۶، ۷۰ و ۷۲ هستن که همگی حاصلضربهای بدن.

    از رو این حرف جیران ضیا جواب رو حدش میزنه. چون در بین تجزیه های عددی که دستشه یعنی (۴و۱۳) یا (۲ و ۲۶)، فقط ۱۷ این خاصیت رو که جیران گفته داره. جمع زوج دیگه میشه ۲۸ و این عدد رو میشه مثلا به (۱۱و۱۷) شیکوند که حاصلضرب ۱۱ و ۱۷ چون هر دو اولین به وضوح یه حاصلضرب خوبه.

    در آخر هم جیران به همین ترتیب چون میبینه ضیا به مساله جواب داده اهداد دست خودش رو چک می‌کنه و به جواب میرسه.

    سوم بحث در حل بامدادی تو گوگل پلاس:
    بامدادی دو جا تو بحثش میگه که جواب نباید فلان قدر ساده باشه و یه جا میگه که جواب باید حتما اونقدر ساده باشه تا فلان. میخوام بگم تو صورت مساله نیست. هیچ جا هم نگفته که دونفری که داریم ازشون صحبت میکنیم به کامپیوتر ساده دسترسی ندارن.

    تمت.

    دوست داشتن

  2. سلام

    پاسخ یکتاست و آن اعداد 4 و 13 می باشد .

    1- چون ضیاء نمی تونه اعداد رو بگه ، می فهمیم که هر دو عدد نمی تواند عدد اول باشد .

    2- چون جیران مطمئنه که ضیا نمی تونه اعداد رو بگه می توان نتیجه گرفت که جمع x و y را نمی توان به شکل جمع دو عدد اول نوشت

    چرا که اگر بتوان نوشت دیگر اطمینانی برای جیران شکل نمی گیرد .( با توجه به نکته 1 )

    3- با فرض بالا جمع دو عدد به 23 مورد کاهش می یابد . ( کل اعداد زوج تا 100 را می توان به شکل جمع دو عدد اول نوشت . اعداد

    فردی را هم که بتوان نوشت را با سعی و خطا حذف می کنیم .)

    آن اعداد عبارتند از :

    11و17و23و27و29و35و37و41و47و51و53و57و59و65و67و71و77و79و83و87و89و95و97

    4- حال باید تک تک اعداد بالا را بررسی کنیم . مثلا 11 را با چهار زوج عدد قابل قبول می توان بدست آورد : ( 2و9) و (3و8) و

    (4و7) و (5و6) . حال حاصل ضرب هر کدام از زوج اعداد را باید بررسی کنیم . ضرب 2 و 9 می شود 18. 18 می تواند 3و6

    و یا 2و9 . پس اگر ضیا با عدد 18 مواجه شده باشد ، با اطمینانی که جیران داشته است ، می فهمد که دو مضربی می تواند جواب باشد

    که جمعشان در 23 عدد بالا گفته شد . یعنی در مورد 18 جواب می شود 2 و 9 و نه 3و6 .

    امّا چون جیران می بیند که ضیا به جواب رسید و بعد خودش جواب را گفت ، با برسسی حالت های مختلف تشکیل دادن 23 عدد بالا تنها

    در عدد 17 است که جواب یکتاست و هر دو به آن می رسند . ( 3+14 و یا 5+12 و یا 6+11 و … هر کدام بیش از یک جواب به

    ضیا می دهند اما 4+13 یک جواب دارد . )

    ببخشید توضیحش خیلی بد بود 😦 اما از جواب مطمئنم 🙂

    دوست داشتن

      1. سلام آقا احسان

        توضیحش برام ساده نیست اما سعیم رو میکنم :

        اگر اعداد 4 و 37 باشند ، جیران با عدد 41 مواجه می شود . 41 شرط اول جواب را دارد ( یعنی نمی شود آن را به شکل جمع دو

        عدد اول نوشت ) . حالا جیران باید تمامی حالاتی که جمع دو عدد 41 می شود را در نظر بگیرد . اول دو عدد 4 و 37 را در نظر

        می گیریم . ضرب آنها می شود 148 . ضیا با دو ترکیب 2و74 و 4و37 طرف می شود . و چون جیران می گوید که مطمئن بوده

        ضیا نمی تواند بگوید ، متوجه می شود که مجموع آن دو عدد احتمالی را نمی توان به شکل جمع دو عدد اول بنویسد و لذا ترکیب 2و74

        را ضیا حذف می کند و به ترکیب 4و37 می رسد . حالا ضیا اعلام می کند که به جواب رسیده . در اینجا چون جیران هم پی به اعداد

        می برد پس حالت دیگری را جیران پیدا نکرده است که بتواند شرط بالا را ارضا کند امّا در مورد عدد 41 می توان حالت دیگری پیدا

        کرد و آن 7+34 است . ضرب آن دو می شود 238 . در نوشتن مضرب های 238 ، فقط حالت 7و34 است که می تواند جواب

        ضیا باشد. یعنی اگر جمع دو عدد ما 41 بشود ، جیران با دو حالت مواجه می شود و نمی داند کدام جواب است . و از آن جایی که او

        مطمئن می شود جواب را پیدا کرده ، ما متوجه می شویم جمع دو عدد 41 هم نیست .

        با بررسی حالاتی که جمع دو عدد 17 می شود ، تنها حالتی است که جفت آنها می توانند به جوابشان مطمئن باشند . (4+13 بقیه ی

        حالت های مجموع 17 فرضیات را ارضا نمی کند .)

        واقعا حق می دم که فهمیدن توضیحاتم سخته … اگر واقعا نیازی به توضیحات بیشتر بود بفرمایید …

        دوست داشتن

    1. اشتباه کردید
      3 + 14 = 17؛
      17 را میتوان به صورت 2+15 هم نوشت! که 2*15=30 و 30 را میتوان به صورت ضرب 3و10 یا 15 و 2 نوشت و بعد از دیالوگ دوم که دومی میگوید مطئن بودم نمیتونی بفهمی اولی میفهمه که حاصلجمع بین اعداد 11 و 17 و … بوده
      10+3=13 که عضو آن مجموعه نیست پس 2*15 می شود
      پس این جواب شما اشتباهست

      دوست داشتن

من همه‌ی کامنت‌های وارده را می‌خوانم. اما ‌لطفا توجه داشته باشید که بنا به برخی ملاحظات شخصی از انتشار و پاسخ دادن به کامنت‌‌هایی که (۱) ادبیات تند، گستاخانه یا بی‌ادبانه داشته باشند، یا (۲) در ارتباط مستقیم با موضوع پستی که ذیل آن نوشته شده‌اند نباشند و یا (۳) به وضوح با نشانی ای‌میل جعلی نوشته شده باشند معذور هستم. در صورتی که مطلبی دارید که دوست دارید با من در میان بگذارید، از صفحه‌ی تماس استفاده کنید. با تشکر از توجه شما به بامدادی.

در پایین مشخصات خود را پر کنید یا برای ورود روی شمایل‌ها کلیک نمایید:

نشان‌وارهٔ وردپرس.کام

شما در حال بیان دیدگاه با حساب کاربری WordPress.com خود هستید. بیرون رفتن / تغییر دادن )

تصویر توییتر

شما در حال بیان دیدگاه با حساب کاربری Twitter خود هستید. بیرون رفتن / تغییر دادن )

عکس فیسبوک

شما در حال بیان دیدگاه با حساب کاربری Facebook خود هستید. بیرون رفتن / تغییر دادن )

عکس گوگل+

شما در حال بیان دیدگاه با حساب کاربری Google+ خود هستید. بیرون رفتن / تغییر دادن )

درحال اتصال به %s